Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự như số học, với chữ cái thay cho chữ số.[6] Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là đúng mà không phải quan tâm đến các số có liên quan. Ví dụ, trong phương trình bậc hai

a , b , c {\displaystyle a,b,c} có thể là bất kỳ số nào (ngoại trừ a {\displaystyle a} phải khác 0 {\displaystyle 0} ), và công thức giải phương trình bậc hai có thể được sử dụng nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy những giá trị của biến số x {\displaystyle x} .

Trong quá trình phát triển, đại số đã được mở rộng đến các đối tượng không phải số khác, chẳng hạn như vectơ, ma trận và đa thức. Sau đó, các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng không phải số này được tóm tắt để xác định các cấu trúc đại số như nhóm, vành và trường.

Trước thế kỷ 16, toán học được chia thành hai lĩnh vực số học và hình học. Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép vi phân và tích phân như một lĩnh vực của toán học chỉ có từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở đi, nhiều lĩnh vực mới của toán học xuất hiện, hầu hết trong số đó đã sử dụng cả số học và hình học, và gần như tất cả trong số đó đều sử dụng đại số.

Ngày nay, đại số đã phát triển đến khi nó đã bao gồm nhiều ngành của toán học, như có thể thấy trong Phân loại Chủ đề Toán học[7] nơi không có lĩnh vực nào trong số các lĩnh vực mức độ đầu tiên (với hai chữ số) được gọi là đại số. Ngày nay đại số bao gồm các phần 08 – Hệ thống đại số chung, 12 – Lý thuyết trường và đa thức, 13 – Đại số giao hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số đa tuyến; Lý thuyết ma trận, 16 – Vành kết hợp và đại số, 17 – Vành không kết hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và 20 – Lý thuyết nhóm. Đại số cũng được sử dụng rộng rãi trong 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học đại số.